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Test functions for stats module

    WRITTEN BY LOUIS LUANGKESORN <lluang@yahoo.com> FOR THE STATS MODULE
    BASED ON WILKINSON'S STATISTICS QUIZ
    https://www.stanford.edu/~clint/bench/wilk.txt

    Additional tests by a host of SciPy developers.
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        All the correlations, except for ZERO and MISS, should be exactly 1.
        ZERO and MISS should have undefined or missing correlations with the
        other variables.  The same should go for SPEARMAN correlations, if
        your program has them.
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    Note that in SciPy 0.9.0 this was not working well for large numbers due to
    inaccuracy of the hypergeom distribution (see #1218). Fixed now.

    Also note that R and SciPy have different argument formats for their
    hypergeometric distribution functions.

    R:
    > phyper(18999, 99000, 110000, 39000, lower.tail = FALSE)
    [1] 1.701815e-09
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        Comparison numbers are found using R v.1.5.1
        note that length(testcase) = 4
        testmathworks comes from documentation for the
        Statistics Toolbox for Matlab and can be found at both
        https://www.mathworks.com/help/stats/kurtosis.html
        https://www.mathworks.com/help/stats/skewness.html
        Note that both test cases came from here.
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        Checks that all of the warnings from a list returned by
        `warnings.catch_all(record=True)` are of the required type and that the list
        contains expected number of warnings.
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        Using PairedData's yuen.t.test method. Something to note is that there
        are at least 3 R packages that come with a trimmed t-test method, and
        comparisons were made between them. It was found that PairedData's
        method's results match this method, SAS, and one of the other R
        methods. A notable discrepancy was the DescTools implementation of the
        function, which only sometimes agreed with SAS, WRS2, PairedData and
        this implementation. For this reason, most comparisons in R are made
        against PairedData's method.

        Rather than providing the input and output for all evaluations, here is
        a representative example:
        > library(PairedData)
        > a <- c(1, 2, 3)
        > b <- c(1.1, 2.9, 4.2)
        > options(digits=16)
        > yuen.t.test(a, b, tr=.2)

            Two-sample Yuen test, trim=0.2

        data:  x and y
        t = -0.68649512735573, df = 3.4104431643464, p-value = 0.5361949075313
        alternative hypothesis: true difference in trimmed means is not equal
        to 0
        95 percent confidence interval:
         -3.912777195645217  2.446110528978550
        sample estimates:
        trimmed mean of x trimmed mean of y
        2.000000000000000 2.73333333333333
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        The PairedData library only supports unequal variances. To compare
        samples with equal variances, the multicon library is used.
        > library(multicon)
        > a <- c(2.7, 2.7, 1.1, 3.0, 1.9, 3.0, 3.8, 3.8, 0.3, 1.9, 1.9)
        > b <- c(6.5, 5.4, 8.1, 3.5, 0.5, 3.8, 6.8, 4.9, 9.5, 6.2, 4.1)
        > dv = c(a,b)
        > iv = c(rep('a', length(a)), rep('b', length(b)))
        > yuenContrast(dv~ iv, EQVAR = TRUE)
        $Ms
           N                 M wgt
        a 11 2.442857142857143   1
        b 11 5.385714285714286  -1

        $test
                              stat df              crit                   p
        results -4.246116897032513 12 2.178812829667228 0.00113508833897713
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        > library(PairedData)
        > a <- c(2.7,2.7,1.1,3.0,1.9,3.0,3.8,3.8,0.3,1.9,1.9)
        > b <- c(6.5,5.4,8.1,3.5,0.5,3.8,6.8,4.9,9.5,6.2,4.1)
        > options(digits=16)
        > yuen.t.test(a, b, alternative = 'greater')
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        Data generated in R with
        > set.seed(1)
        > library("onewaytests")
        > library("tibble")
        > y <- c(rnorm(40, sd=10),
        +        rnorm(30, sd=15),
        +        rnorm(20, sd=20))
        > x <- c(rep("one", times=40),
        +        rep("two", times=30),
        +        rep("eight", times=20))
        > x <- factor(x)
        > ag.test(y ~ x, tibble(y,x))

        Alexander-Govern Test (alpha = 0.05)
        -------------------------------------------------------------
        data : y and x

        statistic  : 1.359941
        parameter  : 2
        p.value    : 0.5066321

        Result     : Difference is not statistically significant.
        -------------------------------------------------------------
        Example adapted from:
        https://eval-serv2.metpsy.uni-jena.de/wiki-metheval-hp/index.php/R_FUN_Alexander-Govern

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        Abdullah, S., Binti Zain, Z., & Soaad Syed Yahaya, S. (2015).
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        Data taken from 'Robustness And Comparative Power Of WelchAspin,
        Alexander-Govern And Yuen Tests Under Non-Normality And Variance
        Heteroscedasticity', by Ayed A. Almoied. 2017. Page 34-37.
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    for bad inputs.
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        p-value with t-distributions can be nan (0/0) (see gh-15843)
        rz  ©rQ   r™   r¼   rš   r©   zDp-value cannot be estimated|divide by zero|invalid value encounteredr?  rK  rg  N)ri   rù  rÈ   r$   rÃ   rk   rS  )rs   rz  rt   rv   rw   r·   s         r}   Útest_brunnermunzel_return_nanz/TestBrunnerMunzel.test_brunnermunzel_return_nan>"  sŒ   € ð
 �J‰J’|Ó$ˆØ�J‰JÒ+Ó,ˆáØ—‘˜!˜Q˜Ó ×"Ñ"ˆAØ—‘˜!˜Q˜Ó ×"Ñ"ˆAàTˆÜœ¨s°rÔ:ñ 	8Ü×Ñ  1°3Õ7÷	8÷ 	8ñ 	8ús   Á7BÂB"c                 ó
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        when t-distribution is used (see gh-15843)
        rz  r|  zdivide by zeror?  r   rg  Nr’   )ri   r$   rÃ   rk   rS  r5   )rs   rt   rv   rw   r2  rC  s         r}   Útest_brunnermunzel_normal_distz0TestBrunnerMunzel.test_brunnermunzel_normal_distN"  sq   € ð �J‰J’|Ó$ˆØ�J‰JÒ+Ó,ˆäœÐ/?ÀBÔGñ 	DÜ×&Ñ& q¨!¸(ÔC‰DˆAˆq÷	Dä˜˜2Ÿ:™: b›>Õ*÷	Dð 	Dús   ¹A9Á9BN)rÒ   rÓ   rÔ   rj   rR  rY  r]  r_  rd  rh  rj  rÙ   rÚ   rÛ   rr  rÜ   ru  rw  ry  r}  r  rÝ   r   r}   rM  rM  À!  s÷   „ ò 	3€AÚ)€Aò=ò&	?ò	?òGò?òGð ‡[�[×Ñ˜^¨s°B¨i¸#¸r¸Ø46¸RÑ.@ð.Bó Cñ4óCð4ñ �kÐ*BÔCñ	0ó Dð	0ñ �kÐ*SÔTñMó UðMñ �kÐ*SÔTñ	?ó Uð	?ð ‡[�[×ÑÐ.°¸°Ó>ñ8ó ?ð8ó	+r   rM  )rv   r   )r—  r   )rC  r   c                 ó†   — t        j                  | |||¬«      }|j                  |j                  g|j	                  «       ¢­S )N©r—  rC  rm  )rk   Úquantile_testr!  r  rY  )rv   r—  rC  rm  r    s        r}   Úquantile_test_referencerƒ  Z"  s9   € ä
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    including the computation of confidence intervals
    c                 óT  — |j                  g d¢«      }d}t        j                  t        |¬«      5  t	        j
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        See Section 6 of
        I. Steinwart, C. Pasin, R.C. Williamson & S. Zhang (2014).
        "Elicitation and Identification of Properties". COLT.
        http://proceedings.mlr.press/v35/steinwart14.html

        and

        Propositions 5, 6, 7 of
        F. Bellini, B. Klar, and A. MÃ¼ller and E. Rosazza Gianin (2013).
        "Generalized Quantiles as Risk Measures"
        http://doi.org/10.2139/ssrn.2225751
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